% Chapter Template

\chapter{Calcul des primes du produit XSR} % Main chapter title

\label{Chapter7} % Change X to a consecutive number; for referencing this chapter elsewhere, use \ref{ChapterX}

\lhead{Chapitre 7. \emph{Calcul des primes du produit XSR}} % Change X to a consecutive number; this is for the header on each page - perhaps a shortened title

Ce chapitre consiste à calculer la prime que devrait payer la Jamaïque pour se couvrir face au risque de pluie torrentielle via le produit XSR. La prime commerciale payée par le pays doit être la somme d’une prime pure, des frais de gestion (ex : frais de souscription, frais de développement, salaires) et de divers chargements correspondant aux coûts des capitaux mis en réserves pour respecter les besoins réglementaires en solvabilité. Mathématiquement, la prime pure est définie comme l’espérance des indemnités qui seront reversées au pays. Nous nous intéressons uniquement à la quantification de la prime pure. Pour ce faire, nous allons utiliser les modélisations des indices de pluie locaux et nationaux établies dans la partie II afin de proposer deux types de tarifications.

\section{Principe de calcul de la prime pure}\label{sec: Prime Pure}

Nous considérons que le CCRIF propose à la Jamaïque une couverture annuelle contre les pluies torrentielles. De fait, la prime exigée par le CCRIF se base sur le calcul des indemnités probables qui seront reversées au pays dans l’année. La prime est déterminée par les paramètres du contrat définis par le pays qui sont le montant limite de couverture (\textit{Coverage Limit}), l'\textit{Attachment} et l'\textit{Exhaustion}. A chaque pluie torrentielle, un indice paramétrique est calculé et le montant d’indemnité reversé à la Jamaïque est déduit grâce à la fonction de paiement ci-dessous :
\clearpage
\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[height=8cm,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter1/fonction_paiement.png}
  \caption[Fonction de paiement]{Fonction de paiement}
  \label{fig:Fonction de paiement bis}
\end{figure}

\noindent L'\textit{Attachment} et l'\textit{Exhaustion} correspondent à des bornes de l'indice paramétrique. Il est donc plus vraisemblable de proposer au pays des quantiles de la loi de l’indice associés à des niveaux spécifiques de risque. Dans l’exemple du produit Ouragan du CCRIF, les quantiles ont été choisis tels que $\mathbb{P}(\textit{Indice}<\textit{Attachment})=96,7\%$ et $\mathbb{P}(\textit{Indice}<\textit{Exhaustion})=99,3\%$ ce qui correspond à des niveaux de retour respectifs de 30 événements \footnote{l’assureur paye en moyenne 1 fois tous les 30 événements} et de 150 événements. A titre indicatif, le montant de couverture limite était de 57 millions de dollars en 2012 pour le contrat Ouragan.

\noindent Pour simplifier le calcul de la prime pure, nous considérons que le nombre d’événements extrêmes est indépendant des paiements. De même, nous supposons que les paiements par événement sont indépendants et identiquement distribués. Soit N le nombre d’événements annuels pour lesquels le CCRIF doit indemniser la Jamaïque. La prime pure annuelle s’écrit :
\begin{equation}
\begin{split}
\textit{Prime}&=\mathbb{E}\left(\sum_{n=1}^{N}\textit{paiement}_n \right) \\
			  &=\mathbb{E}\left(\mathbb{E}\left(\sum_{n=1}^{N}\textit{paiement}_n \right)|N\right) \\
			  &=\mathbb{E}\left(N*\textit{paiement}\right) \\
			  &=\mathbb{E}\left(N\right)*\mathbb{E}\left(\textit{paiement}\right) \hspace{1cm} \textnormal{par indépendance de N et de "paiement"} \\
			  &=\mathbb{E}\left(N\right)*
			  	\mathbb{E}\left[\textit{fct\_de\_paiement}\left(\textit{fct\_vulnérabilité pic(X|X>250)}\right)\right] \\
			  &=\mathbb{E}\left(N\right)*
			  	\mathbb{E}\left[g(X|X>250)\right] \hspace{1cm }\textnormal{où $X$ désigne les pluies agrégées sur 5 jours}
\end{split}
\end{equation}

\noindent La fonction $g$ s’exprime en fonction de la fonction de paiement et de la fonction de vulnérabilité du pic de précipitation agrégée. Ces deux fonctions ont été définies dans la première partie.

\noindent $\mathbb{E}\left(N\right)$ peut être estimé par recensement des événements historiques sur les 15 dernières années. Le calcul de la prime se résume donc au calcul de $\mathbb{E}\left[g(X|X>250)\right]$. La loi de la variable aléatoire $g(X|X>250)$ n’étant pas explicitement connue, nous allons utiliser des simulations de Monte-Carlo pour calculer son espérance. En effet, si ($Y_1$,…,$Y_n$) est un échantillon indépendant et de même loi que $Y=X|X>250$ intégrable, alors la loi des grands nombre s’écrit :
\begin{equation*}
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} g(Y_i) \longrightarrow \mathbb{E}\left[g(Y)\right] 
\end{equation*}

\noindent Dans la suite, nous allons utiliser ce principe pour calculer le montant des primes de deux façons différentes. La première méthode consiste à calculer des primes par région en utilisant la modélisation par extrême univarié (cf. chapitre \ref{Chapter5}). La seconde méthode utilise le modèle de dépendance des extrêmes locaux par copule afin de calculer une prime nationale (cf. chapitre \ref{Chapter6} ).

%-----------------------------------
%	SUBSECTION 1
%-----------------------------------
\section{Primes pures par région}

Dans ce paragraphe, nous considérons que la couverture du produit XSR se fait au niveau régional, et que chaque cellule est considérée indépendamment des autres. La prime pure exigée pour une région est égale à l’espérance des indemnités reversées dans la cellule considérée. Nous avons à notre disposition une fonction de paiement qui relie l’indice local au montant reversé.

\noindent D’après le paragraphe précédent, la prime locale dépend essentiellement de la variable aléatoire $(X|X>250)$ où $X$ sont les précipitations agrégées sur la cellule considérée. C’est pour cette raison que nous allons utiliser la modélisation des dépassements de seuils mise en place dans le chapitre \ref{Chapter5}. Dans un second temps, nous simulons les dépassements de seuil pour en déduire le montant de prime exigé pour chaque cellule géographique. 

\noindent Sur chaque cellule, la loi de $(X|X>250)$ est estimée par modèle de dépassement de seuil. Pour rappel, le seuil de modélisation sélectionné est $u_0=100$ mm. Nous pouvons dès lors simuler 10 000 fois la variable $(X|X>250)$ qui suit une loi de Pareto de paramètre de forme $\hat{\xi_0}$ et de paramètre d’échelle $\hat{\sigma_0}+\hat{\xi_0} \times (250-u_0)$.  Ceci permet d’obtenir une estimation de $\mathbb{E} \left[g(X|X>250)\right]$ par cellule.

\noindent Par ailleurs, $\mathbb{E}\left(N\right)$ est estimée par la moyenne annuelle des événements historiques locaux de la cellule considérée. Le nombre moyen d’événements par cellule est donné dans la figure \ref{fig:Repartition cellule} représentant la répartition géographique des événements locaux.

\noindent La fonction de paiement est la même pour toutes les cellules car l’indice local prend déjà en compte l’exposition locale. Pour les calculs, nous considérons dans un premier temps une limite de couverture d’un million de dollars par région. 

\noindent Les bornes \textit{Attachment} et \textit{Exhaustion} sont prises comme des quantiles de la distribution empirique des indices locaux simulés. Nous comparons la distribution historique des 200 indices locaux avec la distribution des indices simulés. Cela permet en particulier de définir les bornes de la fonction de paiement selon les événements historiques que la Jamaïque aurait voulu faire indemniser. Les distributions des indices simulés et des indices historiques sont comparées dans la figure \ref{fig: Comparaison indice local}.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.45,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/Histo_index_local.pdf}
   %\rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Comparaison des distributions des indices locaux simulés et historiques]{Comparaison des distributions des indices locaux simulés et historiques \footnotemark}
  \label{fig: Comparaison indice local}
\end{figure}
\footnotetext{Attention à l'échelle des indices qui sont en pourcentage.}

\noindent L'indice maximal simulé est de 14,33 ce qui correspond à l’exposition de la cellule 21 au nord de Kingston. Si l’on choisit une borne \textit{Attachment} trop grande, alors aucun des événements historiques détectés n’aurait été indemnisé par le CCRIF si le produit XSR avait existé à partir de 1998. L'indice minimal historique est de $7 \times 10^{-5}$ (le 14 novembre 1999 sur la cellule 28) ,associé au quantile 0,34\% de la distribution simulée. Cela implique que la borne \textit{Attachment} doit être inférieure au quantile 0,34\% de la distribution pour que la totalité des 200 événements historiques soient indemnisés. De même, le plus grand indice historique est de 6,68 (le 25 mai 2003 à Kingston) et correspond au quantile 99,05\% de la distribution de l’indice local simulé. En d’autre terme, la borne \textit{Exhaustion} doit être supérieure au quantile 99,05\% de la distribution pour la même raison. 

\noindent Dans un premier temps, nous allons choisir \textit{Attachment}=$7\times10^{-5}$ et \textit{Exhaustion}=$6,68$ afin de donner un montant de prime par région. Les calculs sont effectués sur base de 10 000 simulations et d’un montant de couverture limite de 1 million de dollars par région. Les primes pures sur les 28 cellules sont données dans la figure \ref{fig: Primes Pures Locales}.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.85,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/prime_par_region.png}
   %\rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Primes pures par région]{Primes pures par région}
  \label{fig: Primes Pures Locales}
\end{figure}

\noindent Les cellules dont les primes sont les plus importantes correspondent bien à l’Est du pays où les pluies torrentielles sont les plus fréquentes. Pour 28 couvertures de 1 million de dollars, ce qui représente 28 millions de dollars de couverture au niveau national, la prime pure totale est de 1,29 millions de dollars. Ce montant permet de couvrir la Jamaïque contre les 200 pluies torrentielles détectées sur les 15 dernières années. Il est censé quantifier au mieux le risque supporté dans le contrat XSR selon la modélisation des dépassements de seuils.  

\noindent Une prime de 1,29 millions de dollars peut paraître élevée pour la Jamaïque. Nous allons essayer de modifier les bornes de la fonction de paiement pour modifier la prime. A priori, nous pensons qu’augmenter la borne \textit{Attachment} fera diminuer la prime car les pluies torrentielles dont les indices sont en dessous de cette borne ne seront plus indemnisées. En revanche, les pluies torrentielles dont les indices sont plus grands que l’\textit{Attachment} seront d’avantage indemnisées car la pente de la fonction de paiement est plus élevée.
\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.8,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/sensibilite_attachement.png}
   %\rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Augmentation de l’\textit{Attachment} et de la pente des paiements]{Augmentation de l’\textit{Attachment} et de la pente des paiements}
  \label{fig: Augmentation Attachment}
\end{figure}

\noindent Nous avons modifié les paramètres un par un, et voici les variations de la prime :
\begin{itemize}
\item la prime augmente lors que la limite de couverture augmente
\item la prime diminue lors que l'\textit{Attachment} augmente
\item la prime augmente lors que l'\textit{Exhaustion} diminue.\\ 
\end{itemize}

\noindent Nous comparons simultanément le nombre d’événements historiques qui aurait été couvert et la prime totale en fonction du quantile de la borne \textit{Attachment}. 

\begin{table}[htbp]
\centering
\footnotesize
\begin{tabular}{C{3cm}|C{3cm}|C{3cm}}
\textbf{Quantile de l'\textit{Attachment}}  & \textbf{Evénements couverts} &\textbf{Prime totale en millions de dollars}  \\
\hline \hline
0.4 \% & 200 & 1,29  \\
10 \%& 174 & 1,27 \\ 
15 \%& 163 & 1,26 \\ 
20 \%& 150 & 1,24 \\ 
25 \%& 138 & 1,21  \\ 
30 \%& 126 & 1,18 \\ 
35 \%& 118 & 1,15 \\ 
40 \%& 115 & 1,11  \\ 
45 \%& 110 & 1,07  \\ 
50 \%& 106 & 1,03  \\ 
55 \%& 98 & 0,99 \\ 
60 \%& 79 & 0,94  \\ 
65 \%& 70 & 0,88  \\ 
70 \%& 63 & 0,83 \\ 
75 \%& 51 & 0,76 \\ 
80 \%& 37 & 0,69  \\ 
85 \%& 27 & 0,61  \\ 
90 \%& 13 & 0,51  \\ 
95 \%& 7 & 0,38 \\ 
96 \%& 5 & 0,34 \\ 
97 \%& 5 & 0,30 \\ 
98 \%& 3 & 0,24 \\ 
99 \%& 1 & 0,18 \\ 
99,1 \%& 1 & 0,17 \\ 
\end{tabular}
\caption[Evolution de la prime en fonction de l'\textit{Attachment}] {Evolution de la prime et du nombre d’événements indemnisés en fonction de l'\textit{Attachment}}
\label{tab: Indice Local}
\end{table}

\noindent Pour que les 200 événements locaux historiques puissent être indemnisés, la Jamaïque devrait payer 1,29 millions de dollars au CCRIF ( cf. table \ref{tab: Indice Local} ). Elle aurait le choix de payer 170 000 dollars mais elle ne se ferait indemniser qu’une seule fois sur les quinze ans. En fait, il est possible de faire diminuer le montant de la prime en choisissant une borne \textit{Attachment} qui soit suffisamment élevé pour qu’aucun des événements historiques n’aient pu être remboursé. Dans tous les cas, c’est à la discrétion de la Jamaïque et du CCRIF de définir ces bornes. Nous verrons dans le chapitre \ref{Chapter9} comment il est possible de diminuer par des méthodes de transfert de risque. 
%-----------------------------------
%	SUBSECTION 2
%-----------------------------------

\section{Prime pure nationale}
Pour le calcul de la prime nationale, nous avons appliqué la méthodologie du paragraphe \ref{sec: Prime Pure}. 

\noindent Rappelons que pour calculer la prime pure au niveau national, nous avons besoin de connaître la distribution de l'indice national. Pour cela, nous allons simuler la distribution multivariée des indices locaux ($I_1,\dots,I_{28}$) dont la modélisation a été donnée dans le chapitre \ref{Chapter6}, puis en déduire l'indice national $I_{nat} = \sum_{j=1}^{28} I_j$. La figure \ref{fig: Index National Comparaison} met en comparaison la distribution simulée avec la distribution historique de l'indice national. 
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \subfigure[Historique]{
   \includegraphics[scale=0.45,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/Histo_index_nat_hist.pdf}}
  \subfigure[Simulation]{
     \includegraphics[scale=0.45,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/Histo_index_nat_sim.pdf}}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Histogrammes de l'indice national]{Histogrammes de l'indice national}
  \label{fig: Index National Comparaison}
\end{figure}

\noindent L'indice  national minimal sur 15 ans d'observation est de $7,34 \times 10^{-05}$, associé au quantile $0,39\%$ de la distribution simulée. De même, la valeur maximale est de $27,98$ (tempête tropicale Nicole en 2010). Ce maximum historique correpond au quantile $96,24\%$ de la distribution simulée. 

\noindent Une fois obtenue la distribution de l'indice national, nous avons besoin de fixer la fonction de paiement. Bous souhaitons calculer la prime annuelle que la Jamaïque devrait payer si elle voulait se faire protéger contre tous les événements nationaux ayant eu lieu sur les 15 dernières années. Pour ce faire, nous fixons les points \textit{Attachment} et \textit{Exhaustion} comme suivant : 
\begin{itemize}
\item \textit{Attachment} = $7,34\times10^{-05}$ 
\item \textit{Exhaustion} = $27,98$ \\
\end{itemize}

\noindent Nous fixons le \textit{Coverage Limit} à 28 millions de dollars. % , ce qui correspondrait à une couverture locale de 1 million de dollars sur chaque cellule d'observation locale (si nous considérons que les dommages sont équipartis sur toute les régions). 

Pour rappel, la prime pure nationale est : 
\begin{equation*}
\textit{Prime}= \mathbb{E}\left(N\right)*\mathbb{E}\left[paiement(I_{nat})\right]
\end{equation*}
\noindent Historiquement, nous avons relevé 29 événements nationaux,  ce qui correspond environ à  $\mathbb{E}\left(N\right)=2$. La prime pure annuelle correspondant aux hypothèses précédentes est égale à 8,68 millions de dollars, soit 31 \% de la limite de couverture.

%Si la Jamaïque voulait se prémunir contre les 29 événements que nous avons recensés sur les 15 dernières années, elle devrait donc payer une prime égale à 31 \% du \textit{Coverage Limit} choisi par elle même. 
\noindent Afin de baisser la prime payée annuellement, la Jamaïque peut décider d'augmenter la borne \textit{Attachment} en contre partie d'une couverture moindre. Nous gardons toujours la valeur de l'\textit{Exhaustion} égal à $27,98$ et faisons seulement varier les quantiles de la borne \textit{Attachment}.
\begin{table}[htbp]
\centering
\footnotesize
\begin{tabular}{C{4cm}|C{4cm}|C{4cm}}
\textbf{Quantile de l'\textit{Attachement}}  & \textbf{Evénements couverts} &\textbf{Prime en millions de dollars} \\
\hline \hline
%5 \% & $4,67*10^{-3}$& 26 & 8,68 & 31 \% \\
%10 \%& $2,43*10^{-2}$& 23 & 8,65 & 30,8 \% \\ 
%15 \%& $6,53*10^{-2}$& 22 & 8,59 & 30,7 \% \\ 
%20 \%& $1,18*10^{-1}$& 20 & 8,52 & 30,4 \% \\ 
%25 \%& $1,87*10^{-2}$& 19 & 8,43 & 30,1 \% \\ 
%30 \%& $2,83*10^{-2}$& 19 & 8,32 & 29,7 \% \\ 
%35 \%& $4,00*10^{-2}$& 17 & 8,20 & 29,2 \% \\ 
%40 \%& $5,61*10^{-2}$& 15 & 8,04 & 28,7 \% \\ 
%45 \%& $7,67*10^{-2}$& 13 & 7,86 & 28,1 \% \\ 
%50 \%& $1,06$		 & 11 & 7,62 & 27,2 \% \\ 
%55 \%& $1,44$		 & 11 & 7,35 & 26,3 \% \\ 
%60 \%& $1,97$		 & 8 & 7,02 & 25,1 \% \\ 
%65 \%& $2,67$		 & 8 & 6,64 & 23,8 \% \\ 
%70 \%& $3,59$	     & 8 & 6,20 & 22,2 \% \\ 
%75 \%& $4,95$		 & 5 & 5,67 & 20,2 \% \\ 
%80 \%& $6,84$	     & 5 & 5,06 & 18,1 \% \\ 
%85 \%& $9,6$		 & 4 & 4,36 & 15,6 \% \\ 
%90 \%& $14,23$		 & 2 & 3,52 & 12,6 \% \\ 
%95 \%& $23,65$		 & 2 & 2,42 & 8,6 \% \\ 
5 \% & 26 & 8,68  \\
10 \%& 23 & 8,65 \\ 
15 \%& 22 & 8,59  \\ 
20 \%& 20 & 8,52 \\ 
25 \%& 19 & 8,43  \\ 
30 \%& 19 & 8,32  \\ 
35 \%& 17 & 8,20  \\ 
40 \%& 15 & 8,04  \\ 
45 \%& 13 & 7,86  \\ 
50 \%& 11 & 7,62 \\ 
55 \%& 11 & 7,35  \\ 
60 \%& 8 & 7,02 \\ 
65 \%& 8 & 6,64  \\ 
70 \%& 8 & 6,20 \\ 
75 \%& 5 & 5,67 \\ 
80 \%& 5 & 5,06  \\ 
85 \%& 4 & 4,36  \\ 
90 \%& 2 & 3,52  \\ 
95 \%& 2 & 2,42 \\ 
\end{tabular}
\caption[Evolution de la prime nationale en fonction de l'\textit{Attachment}] {Evolution de la prime nationale et du nombre d’événements couverts en fonction de l'\textit{Attachment}}
\label{tab: Indice National}
\end{table}

\noindent Le tableau \ref{tab: Indice National} permet de voir l'impact de l'augmentation de l'\textit{Attachment} sur la baisse de la prime. La Jamaïque a la possiblité de payer une prime moins chère mais en contre partie, il y a aura moins d'événements couverts. La baisse de la prime est significative pour des valeurs de quantile supérieures à 60\%. 

\noindent Nous allons tenter de comparer dans le prochain chapitre la somme des primes locales avec la prime nationale.
